Archimédova serpentina (Odvozeni)

SVĚT GEOMETRIE

Odvozeni archimédové serpentiny

První způsob:

Šroubovice má tvar:  X(v) = [a cos v, a sin v, b v].

Normála ke šroubovici bude mít tvar (jako první derivace souřadnic šroubovice):

T(v) = [- a sin v, a cos v, b]

Vektor hlavní normály křivky bude mít tvar (jako druhá derivace souřadnic šroubovice):

N(v) = [- a cos v, - a sin v, 0]

Vektor binormály k teto křivce (jako vektorový součin T(v) a N(v)):

V(v) = N(v)*T(v) = [ a b sin v, - a b cos v, a²]

Ted´ najdeme jednotkové vektory n, b (vydělíme normou).

n(v) = [- cos v, - sin v, 0]

(Vektory n, b, t - tvoří Fremetův repér).

Zůstává nám jen dosadit do vzorce:

X (u,v) = X(v) + R cos (u) n(v) + R sin (u) b(v)

Druhý způsob:

Šroubovice má tvar: X(u) = [a cos u, a sin u, b u], normála ke šroubovici bude mít tvar: n(u) = [-a sin u, a cos u, b] (jako první derivace souřadnic šroubovice).

Zároveň tato normála bude normálou roviny, kde se nachází původní kružnice, která šroubuje. Ted´ hledáme odchylku této roviny, od roviny XY (rovina XY má normálu [0,0,1]

1). Bod A – střed původní kružnice má souřadnice (a, 0, 0). To znamená, že rovnice původní roviny bude mít tvar ay + bz = 0. (Viz. Rovina).

2). Odchylku dvou rovin, spočteme jako odchylku dvou normál podle vzorce:
 

S toho najdeme:

Budeme uvažovat tak, že máme kružnice, která leží v rovině XZ a má souřadnice [r cos u + a, 0, r sin u].

Ted´ potřebujeme najit rovnici původní kružnice:

1). Souřadnice X(u) se nezmění a bude se rovnat [r cos u + a].

2). Souřadnice Y(u) se změní a bude se rovnat [z sin a].

3). Souřadnice Z(u) se nezmění a bude se rovnat [r sin u].

Nebo [r cos (u) + a, - r sin (u) sin(a), r sin (u)].

Vektorový systém šroubovice:
,a archimedová serpentina bude mít tvar: Y(u,v) = X(u)e1 + Y(u)e2 + Z(u)e3 nebo

bv – zajistí posun podle osy Z.